線性代數Ch1: 向量與向量空間(Vectors and Vector Spaces)

English version here

本系列是是我這四個月以來學習線性代數學到的東西。做成影片版之前，先做成文字版把邏輯梳理好，以便之後能夠比較流暢地做影片。大部分的內容出自Linear Algebra Done Right。定理、定義的編號也會遵從原作，以便大家銜接。

本系列用意僅為提供一個比較容易的學習入口，能初步進行比較容易的學習，並非取代原作。如果大家想要深入鑽研，非常推薦去看原版教科書，能夠有更深入的理解及收穫。

因為原作中的題目量實在太大，我自己在學的時候也沒有全都做（我認為做太多題目沒有太大意義，有掌握重要概念就好）。因此本系列中，我也會挑選一些題目給大家練習。非常推薦自己動手做這些題目，因為數學是一個一定要動手寫才能紮實掌握的科目。

1.A：向量是什麼？

大家在上線性代數這門課前，應該就已經看過許多向量了。在高中數學裡面，我們理解的向量就是二維平面裡面的箭頭或是座標，像是$\left[\begin{array}{r}2 \\ 1 \end{array}\right]$，或是三維空間裡面的箭頭或是座標例如$\left[\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right]$。其實，一個向量不僅僅限於平面或是三維空間，向量可以延伸到n個維度。

目前為止，我們都是使用垂直的$n \times 1$矩陣來表示向量。我們通常會稱垂直的$n \times 1$的矩陣是向量，而不是水平$1 \times n$的矩陣。

水平的$1 \times n$矩陣，像是$\left[\begin{array}{r}2 & 1\end{array}\right]$，我們會稱為row vector。

我們還會常用另外一種符號來表示向量，也就是小括號。例如，這兩個表達方式其實是相同的意思。

也就是說

除了空間裡面的箭頭、或是座標外，向量也可以用於表示很多東西。

顏色

顏色可以使用RGB向量表示：

資產配置

下面的資產配置，也可以使用$(100, 50, 25, 10)$這個向量來表示。

收益率

向量可以表示股票的收益率。例如$(−0.022, +0.014, +0.004)$可以代表第一天下跌2.2%，第二天上升1.4%，第三天又上升0.4%。

現金流

現金流也可以使用向量表示。假設以一個季度為單位，$(1000, -10, -10, -1010)$可以代表借款1000元，利息1%，最後一個季度還清。

圖片

上面是一個$256 \times 256$的圖片。我們可以把它扁平化成一個65536維的向量表示。英文會說是一個$65535$-vector

影片

一個黑白的影片，假設是由$K$張$M \times N$的圖片組成，可以用一個$KMN$維的向量表示($KMN$-vector)。

其他例子

實在太多我無法全部講完，下面這些東西也能夠使用向量去表達，大家停可以思考要如何去使用向量去表達。

• 各種產品的庫存量
• 人口數據（例如血壓）
• 機率（例如硬幣正反面）
• 時間序列（例如溫度）
• 顧客購買產品的數量
• 特徵(Features or attributes)
• 字數統計、發生頻率

常見符號

接下來我們來看一些常用的符號。在數學上熟悉符號是非常重要的。我以前學數學最大的壞習慣就是以為能表達就好，就隨便亂寫數字，計算過程。但是其實熟悉數學符號，才能夠很順暢的把你的想法翻譯成嚴謹的符號來表達。這跟寫程式注重code的品質是一樣的。

0向量(zero vectors)

為了方便，我們有些更簡潔的方式來表示向量。例如

很多時候我們會把下面的下標也省略。比如說這個情況，$0$代表幾維的向量，從前後文就可以判斷，就可以直接這樣寫。

單位向量(unit vectors)

第i個unit vector，是指第i個位置是1，其他位置是0的向量。

也就是

在這邊$e_i$是一個向量，而$(e_i)_j$是一個數字（第$j$個元素）。

1向量(ones vectors)

我們也會用$\mathbf{1}_n$來表示一個所有元素都是$1$的向量，如果從前後文就可以判斷，一樣可以省略下標，寫成$\mathbf{1}$。

向量的定義、相關符號(Vectors and Notations)

定義list

上面透過很多例子，我們已經對向量有一定的熟悉度。但我們還沒有真正定義向量是什麼。在定義向量之前，我們先定義什麼是list。

以下這些範例都是合法的list：

• $(1, 2)$
• $()$
• $((1, 2), (3), 3, i)$

看到這邊，大家可能會產生一個疑問

看起來list跟向量好像差不多，那list就等於向量嗎？

答案是不一定。list的確是我們最常見的向量形式，但是向量是一個更廣泛的概念，所以除了list外，其實還有其他種類的向量。大家可以先把這個問題放在心理，等到我們後面正式定義向量空間是什麼，大家就會非常清楚了。

實數、複數、以及F

大家應該都對 $\mathbf{R}$ 跟 $\mathbf{C}$ 這兩個符號很熟悉了。$\mathbf{R}$ 代表所有實數的集合，而 $\mathbf{C}$ 則代表所有複數的集合。

$\mathbf{R}^n$就代表包含所有長度n的實數list的集合。

例如：

• $(1, 5) \in \mathbf{R}^2$
• $(-1+i, 2+3i, 0) \in \mathbf{C}^3$

那麼，向量就是一個n維的實數、或是複數list囉？

依照我們過去國中高中理解的向量，其實這樣說在應用角度沒什大問題，但數學家不滿意，他們覺得「我們還要更抽象」。他們希望找到一個更general的結構，而不限於 $\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$。這個大家看到後面就會慢慢體會到了。我們這邊可以先用 $\mathbf{R}^n$ 跟 $\mathbf{C}^n$ 去做想像跟理解向量。

很多時候，我們在討論向量時，並不會限定一定要是R或是C。所以我們會用F這個符號來代表R或是C。

其實在討論線性代數的時候，大多數的理論不只可以套用在$\mathbf{R}$跟$\mathbf{C}$，而是可以套用在任何的field。field指的就一個有定義加法、減法、乘法、除法的集合。所以其實$\mathbf{R}$跟$\mathbf{C}$個別都是field（因為他們都支援加減乘除）。

在後面，我們會用F這個符號來代表一個field。線性代數的很多理論都可以套用在任何的field。但是大部分實際碰到的應用都是實數或是複數，本系列中也不會舉不是$\mathbf{F}$或是$\mathbf{C}$的範例，所以在本系列中大家可以把$\mathbf{F}$當成成$\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$即可。

也就是說，如果$\mathbf{F}=\mathbf{R}$，且$n=2$，那麼$\mathbf{F}^n$就是我們熟悉的幾何平面，也就是$\mathbf{R}^2$。如果$n=3$，則$\mathbf{F}^n$就是$\mathbf{R}^3$。

F^n的加法、乘法(Addition and Sclar Multiplication)

• addition(commutivive)
• zero vector notation
• additive inverse(加法反元素)

線性代數想做的事，用非常直白的方式說，其實就是把加法以及乘法，從一維的數字延伸到多維。所以我們首先就先來看要怎麼去把加法延伸到$F^n$吧。

加法

大家應該都非常熟習如何在$\mathbf{R}^2$以及$\mathbf{R}^3$裡面做加法了，$\mathbf{F}^n$裡面的加法非常直觀，就是把list裡面的每個數字做一般的加法。

例如：

• $F=R$，則$(1,-1) + (-3, 5) = (-2, 4)$
• $F=C$，則$(1+i, 2-i) + (i, 0) = (1+2i, 2-i)$

當我們這樣定義加法，這個加法是符合交換律的。大家可以檢驗看看為何下面這個定理成立。

注意這邊我們用「定義」這個字，這代表我們其實也可以用其他方式去「定義加法」，讓他不符合交換律，例如：

這種加法就不符合交換律了。

只是這種定義不直觀，也缺乏我們想要的性質，所以我們就不會討論太多。

乘法

接下來我們定義向量的乘法。

乘法則是把一個向量，乘以一個純量。

注意，並不是把兩個向量做相乘，而是向量乘以純量。比如說我們有一個向量$(x_1, x_2, ..., x_n) \in F^n$，還有一個純量$\lambda \in F$。那麼

例如：

• $F=R$，則$3(1,-1) = (3, -3)$
• $F=R$，則$0(1,-1) = 0$（右側0代表的是向量不是數字喔）
• $F=C$，則$i(1+i, 2-i) = (-1+i, 1+2i)$

精選練習題（選自Linear Algebra Done Right, Ch1.A）

9. Find $x \in \mathbf{R}^4$ such that

10. Explain why there does not exist $\lambda \in \mathrm{C}$ such that

14. Show that $\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y$ for all $\lambda \in \mathbf{F}$ and all $x, y \in \mathbf{F}^n$.

1.B：向量空間(Vector Space)

向量空間的定義

前面我們定義了 $\mathbf{F}^n$ 裡面的加法乘法，幫助大家理解，把一維的加法、乘法，延伸到多維的感覺。

接下來，我們就可以定義所謂的「向量空間 vector space」了。

向量空間，其實就是一個「有定義加法與乘法的集合」。意思是說，我們希望可以對這個向量空間裡面的東西做加法或乘法。

也就是說：

1. 假設$V$是一個向量空間，任取兩個$u, v \in V$，我們都可以對他們做加法，這個結果$u+v$還是會在$V$裡面。

2. 假設我從$\mathbf{F}$取出任意一個元素$\lambda$（大家可以想像成一個數字），那麼$\lambda v$會是一個向量，而且我們希望這個 $\lambda v$ 也會在$V$裡面。

所以，向量空間，其實就是一個「有定義加法與乘法的集合」。並符合某些性質。

不過這種白話的定義不夠明確，所以我們看看真正數學上的定義。

哇，一次就來這麼多條件，感覺好複雜！

其實這個概念很簡單。記得我們前面說的嗎？向量空間最直觀的理解就是「有定義加法、乘法的多維集合」。

我們希望在$\mathbf{R}$、$\mathbf{C}$裡面我們所熟悉的加法、乘法特性，都可以套用在$V$上面。其實就這麼簡單而已，你會發現，上面這些規則都是我們熟悉的$\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$的乘法、加法有的性質，我們希望這些性質也能套用在向量空間上面，所以才會這樣定義向量空間。

說到這邊，大家也可以回去檢驗看看，剛剛我們說過的$\mathbf{F}^n$的加法、以及乘法，是否有符合這些條件。檢驗看看為什麼$\mathbf{F}^n$是一個向量空間，不論$\mathbf{F}=\mathbf{R}$或是$\mathbf{F}=\mathbf{C}$。

我這邊示範檢驗 $\mathbf{F}^n$ 是否符合第一條規則。

證明：

• 因為$(0, \dots, 0) \in \mathbf{F}^n$
• $u + (0, \dots, 0) = u$

這不是看就知道了嗎？怎麼還需要證明？

或許看起來有點繁瑣，但這就是數學證明的過程，需要確保每一步都是嚴謹的，不能跳過任何步驟。這個範例很簡單，所以可能會有股衝動覺得不需要證明吧，看就知道結果了。但是當要證明的東西越來越複雜，就會開始感受到，熟悉這種一步步推理過程的重要性。

大家可以用同樣的方式去檢驗，$\mathbf{F}^n$ 確實是符合所有向量空間的條件。就是因為$\mathbf{F}^n$符合這些條件，我們才可以說 $\mathbf{F}^n$ 確實是一個向量空間。

這邊我們定義一下怎麼稱呼最常見的向量空間$\mathbf{R}^n$與$\mathbf{C}^n$

接下來我們用一個範例來實際體會，向量空間不僅僅限於$\mathbf{F}^n$，而是更泛用的結構。

上面這個定義，是一個包含函數的集合，我們為這個集合定義了加法、以及純量乘法。並且大家可以檢驗看看，這個加法和乘法的定義，是符合向量空間的那6條條件的，因此 $\mathbf{F}^S$ 確實是一個向量空間。

比如，我們來檢驗看看$\mathbf{F}^S$裡面存在加法單位元素。

$\mathbf{F}^S$ 的裡面，存在一個函數 $0: S \rightarrow \mathbf{F}$，對所有 $x \in S$，我們定義$0$函數為：

也就是說，這個$0$函數就是 $\mathbf{F}^S$ 中的加法單位元素。其他規則的檢驗大家也可以試試看。

總而言之，這個$\mathbf{F}^S$ 是一個合法的向量空間。因此，這個集合中的所有函數，你都可以稱之為一個向量。

到這邊大家應該也可以體會到了，向量空間並不限於$\mathbf{F}^n$這個形式，一個向量也不一定是list。

延伸思考：矩陣

我們可以用 $\mathbf{F}^{m,n}$ 代表包含所有$m \times n$矩陣的集合。

例如：

• $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbf{F}^{2, 2}$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} \in \mathbf{F}^{3,2}$

那麼，$\mathbf{F}^{m,n}$ 是不是一個向量空間呢？怎樣的矩陣加法、還有純量乘法定義，才能讓 $\mathbf{F}^{m,n}$ 符合向量空間的條件呢？

精選練習題（選自Linear Algebra Done Right, Ch1.B）

4. The empty set is not a vector space. The empty set fails to satisfy only one of the requirements listed in the definition of a vector space (1.20). Which one?

5. Show that in the definition of a vector space (1.20), the additive inverse condition can be replaced with the condition that

   $$0 v=0 \text { for all } v \in V \text {. }$$

   Here the 0 on the left side is the number 0, and the 0 on the right side is the additive identity of $V$.

   The phrase a "condition can be replaced" in a definition means that the collection of objects satisfying the definition is unchanged if the original condition is replaced with the new condition.

6. Suppose $V$ is a real vector space.

   • The complexification of $V$, denoted by $V_{\mathrm{C}}$, equals $V \times V$. An element of $V_{\mathrm{C}}$ is an ordered pair $(u, v)$, where $u, v \in V$, but we write this as $u+i v$.

   • Addition on $V_{\mathrm{C}}$ is defined by

     $$\left(u_1+i v_1\right)+\left(u_2+i v_2\right)=\left(u_1+u_2\right)+i\left(v_1+v_2\right)$$

     for all $u_1, v_1, u_2, v_2 \in V$.

   • Complex scalar multiplication on $V_{\mathrm{C}}$ is defined by

     $$(a+b i)(u+i v)=(a u-b v)+i(a v+b u)$$

     for all $a, b \in \mathbf{R}$ and all $u, v \in V$.

   Prove that with the definitions of addition and scalar multiplication as above, $V_{\mathrm{C}}$ is a complex vector space.

1.C：子空間(Subspaces)

現在大家應該很清楚Vector Space是什麼了，我們來看看子空間是什麼。

白話來說，如果$V$的子集合，是一個向量空間，那它就是一個子空間。比如說 $\mathbf{R}^2$ 是一個向量空間，而 $\{(1, 1)\}$ 是一個子集合，但很明顯它不是一個向量空間。因為你把$(1, 1)$乘以任何一個倍數得到的向量，都不在這個子集合裡面。但是 $\{\lambda(1, 1) : \lambda \in R\}$ 就是一個子空間。

那麼，我們要怎麼快速檢查一個子集合是否是一個子空間呢？難道每次都要檢查全部那六條規則嗎？

其實比想像中還簡單，我們只要檢查

感覺還滿直觀的吧？畢竟向量空間的基礎定義，本來就是要符合加法封閉、乘法封閉的。不過其實沒那麼簡單，要證明若且為若(if and only if)的關係成立，我們必須兩個方向都證明。左到右、以及右到左。

從左到右，也就是

$U$是子空間 $\implies$ 三個條件成立

這個證明很簡單，因為如果我們假設$U$是子空間，那U就符合那6條向量空間的基礎定義，所以當然$U$也就符合上面三條條件了。

比較麻煩的是由右到左的證明，也就是：

上面三個條件成立 $\implies$ $U$是子空間

要完成這個證明，我們必須先假設這3個條件成立，然再去證明，$U$同時也符合子空間的定義。因為本系列用意只是導讀，提供一個入門窗口，就不深入講證明的部分。如果想深入了解可以參照Linear Algebra Done Right。

回到正題，我們現在知道怎麼快速檢查一個子集合是不是子空間了，所以我們來快速看一些範例熟悉一下概念：

1. 若 $b \in \mathbf{F}$，則

   $$U=\left\{\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \in \mathbf{F}^4: x_3=5 x_4+b\right\}$$

   為 $\mathbf{F}^4$ 的子空間，若且唯若 $b=0$。

2. 在 $\mathbf{R}$ 上的所有可微實值函數集合是 $\mathbf{R}^{\mathbf{R}}$ 的子空間。

範例1

我們先看看第一個範例

如果 $b \neq 0$ ，則當$x_4=0$的時候$x_3$就一定不等於$0$。也就是說，加法單位元素$0$並不存在這個集合裡面，所以就不是一個子空間。

嚴謹的證明一樣需要以下兩個方向都證明

1. $(\implies)$假設$U$是一個子空間，然後證明$b=0$
2. $(\impliedby)$假設$b=0$，然後證明$U$是一個子空間

這邊就先省略這些證明了，大家可以自己練習看看。

範例2

在 $\mathbf{R}$ 上的所有可微實值函數集合，可以用以下的集合來表達：

因為$f \in U$是一個把$\mathbf{R}$映射到$\mathbf{R}$的函數，$f \in \mathbf{R}^\mathbf{R}$，也就是說$U$的確是$\mathbf{R}^\mathbf{R}$的子集合。

所以我們只要證明$U$(a)對加法封閉、(b)也對純量乘法封閉、(c)加法單位元素存在，就可以證明$U$是一個子空間。

用非常簡略的說法：

(a)：兩個可微分的函數相加，當然也是可微分的。所以$U$的確對加法封閉。

(b)：一個可微分的函數，乘以一個純量倍數，當然也還是可微分的。

(c)：最後，$0(x) = 0$這個函數是可微分的，所以加法單位元素也存在$U$裡面。

所以我們就成功證明了，$U$的確是$\mathbf{R}^\mathbf{R}$的子空間

向量空間的和(sum)、直和(direct sum)

前面我們透過一些範例，了解怎樣才是合法的子空間。

了解子空間是什麼之後，我們想要知道，怎麼把兩個或是多個子空間合起來。

因為向量空間是一個集合，大家可能會先想到聯集。但是我們會發現(insert an example)如果直接把聯集當作加法，這個新的向量空間就變成不是一個合法的向量空間了。

比如說$A = \{(x, 0) : x \in R\}$、以及$B = \{(0, y) : y \in R\}$。雖然$A$、$B$都是向量空間，這兩個集合的聯集$U = A \cup B$並不是一個向量空間。因為$(1, 0) \in U$且$(0, 1) \in U$，但是兩者的和$（1, 1）\notin U$。

所以，聯集不是我們想要的向量空間加法定義。

所以大家可以停下來想，那我們要怎麼定義向量空間的加法，讓加起來的結果，還是一個向量空間呢？答案就會是下面這樣的定義：

使用這樣的定義，就會發現兩個向量空間的合，還是會是一個向量空間。

比如前面的範例$A = \{(x, 0) : x \in R\}$、以及$B = \{(0, y) : y \in R\}$，使用我們定義的加法，$A+B=\mathbf{R}^2$。

直和(direct sum)

向量空間的和，是把向量空間加起來，那麼常常會出現的應用就是，我們想把向量空間拆解成很多個子空間。這時候，我們特別有興趣的情況就會是每一個向量，都可以拆解成唯一分解的情況。

種情況我們就稱為直和。我們來看一下直和的定義。

下面我們用幾個範例加深對直和的理解：

是直和的範例

假設 $U$ 是 $\mathbf{F}^3$ 中最後一個坐標等於0的子空間，而 $W$ 是 $\mathbf{F}^3$ 中那些前兩個坐標等於0的子空間，亦即：

那麼 $\mathbf{F}^3=U \oplus W$，大家可以自己驗證看看。

不是直和的範例

假設

那麼 $\mathbf{F}^3=V_1+V_2+V_3$，因為每個向量 $(x, y, z) \in \mathbf{F}^3$ 都可以寫成

其中右側的第一個向量屬於 $V_1$，第二個向量屬於 $V_2$，第三個向量屬於 $V_3$。

但是，$\mathbf{F}^3$ 並不是 $V_1, V_2, V_3$ 的直和，因為向量 $(0,0,0)$ 可以用多種方式寫成 $v_1+v_2+v_3$ 的和。具體來說，這是其中一種分解方式

這是另外一種分解方式

其中上述每個等式右側的第一個向量屬於 $V_1$，第二個向量屬於 $V_2$，第三個向量屬於 $V_3$。因此，和 $V_1+V_2+V_3$ 不是一個直和。

接下來，我們來看一下直和的一些性質。

首先，我們要怎麼證明這個定理？因為這是一個若且唯若的關係，我們需要兩個方向都證明。

$(\implies)$

要證明向右的方向，我們先假設$V_1, \ldots, V_m$是一個直和。那麼根據直和的定義，所有的向量都只有一種拆解方式。所以自然$0$向量也只有一種拆解方式。

$(\impliedby)$

要證明向左的方向，我們先假設$0$只有一種拆解方式。那麼因為$V_1, \ldots, V_m$個別都是子空間，他們各自都包含0這個向量（加法單位元素）。所以，0可以用以下的方式拆解：

因為我們已經假設0只有一種拆解方式，這代表上面這種拆解方式就是唯一的拆解方式了。

接下來假設任意一個向量$v \in V_1, \ldots V_m$, 然後我們把$v$用兩種方式拆解：

把兩式相減，我們會得到

因為前面已經證明了$0$唯一的拆解方式就是

我們會得到

因此任意的向量v，都只有一種拆解方式。至此我們已經證明完兩邊的方向。

這個定理該怎麼去解讀他呢？他代表什麼意思？

他代表的意思就是「我們只要確認把0向量拆解成$V_1, \dots V_m$的唯一組合，就是$0+0+\dots+0$，就可以篤定$V_1, \dots, V_m$是一個直和。」也就是說，我們不需要確認每個$V$裡面向量，都只能拆解成唯一組合，只要確認0只有一種組合就可以了。

前面大家應該也隱約可以感覺到，兩個子空間$V$與$W$的交集必須是$\{0\}$，才能是直和。因為任何子空間一定包含$\{0\}$，所以交集當然也一定有$\{0\}$。並且，如果交集包含$0$以外的向量就不會是直和，因為會有向量會有超過一種拆解方式。具體來說：$U \cap W$包含一個非0向量$v$，那他就可以有兩種拆解方式$v=0+v=v+0$，所以他們就不是直和。

其實$U \cap W=\{0\}$，不僅僅是一個必要條件，它還是充分條件。也就是說只要$U \cap W=\{0\}$，就代表$U \oplus W$了。下面我們就來看看為什麼吧。

證明：

這個證明一樣要證明兩個方向。

$(\implies)$

假設$V+W$是直和。現在我們想證明他們的交集裡面只有$0$向量。所以我們假設$v \in V \cap W$。只要成功證明$v = 0$，我們就成功證明$V+W=0$了。

• 因為$v \in V \cap W$，$v \in V$且$v \in W$
• 因為$W$是一個向量空間，$-v \in W$
• 可以把$0$拆解為$0 = v + (-v)$，其中$v \in V$且$-v \in W$
• 因為$V$與$W$都是子空間，都包含$0$向量，所以$0 = 0 + 0$也是一種拆解方式
• 因為$V+W$是直和，$0$只有一種拆解方式，所以$v = -v = 0$，得證

$(\impliedby)$

假設$U \cap W = \{0\}$，根據1.45，我們只要證明$0$唯一拆解方式，是$0 = 0+0$，就可以證明$U+W$是直和。

• 假設$0 = u + w$，其中$u \in U$且$w \in W$
• $0 = u + w$代表$u = -w$
• 這代表$u \in W$（因為$u$是$w$的加法反元素）
• 所以$u \in U \cap W=\{0\}$
• 所以$u=0$且$w=0$，得證

閱讀下一章

精選練習題（選自Linear Algebra Done Right, Ch1.C）

1. For each of the following subsets of $\mathbf{F}^3$, determine whether it is a subspace of $\mathbf{F}^3$.

   • (a) $\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \in \mathbf{F}^3: x_1+2 x_2+3 x_3=0\right\}$
   • (b) $\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \in \mathbf{F}^3: x_1+2 x_2+3 x_3=4\right\}$
   • (c) $\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \in \mathbf{F}^3: x_1 x_2 x_3=0\right\}$
   • (d) $\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \in \mathbf{F}^3: x_1=5 x_3\right\}$

2. Prove or give a counterexample: If $U$ is a nonempty subset of $\mathbf{R}^2$ such that $U$ is closed under addition and under taking additive inverses (meaning $-u \in U$ whenever $u \in U)$, then $U$ is a subspace of $\mathbf{R}^2$.

3. Prove or give a counterexample: If $V_1, V_2, U$ are subspaces of $V$ such that

   $$V=V_1 \oplus U \quad \text { and } \quad V=V_2 \oplus U,$$

   then $V_1=V_2$.

   Hint: When trying to discover whether a conjecture in linear algebra is true or false, it is often useful to start by experimenting in $\mathbf{F}^2$.

參考資料

• Cataldo G. (2010) Original image 256x256 pixels [Figure]. ResearchGate.
• Axler, S. (2024). Linear Algebra Done Right (4th ed.). Springer.
• Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2018). Introduction to Applied Linear Algebra – Vectors, Matrices, and Least Squares. Cambridge University Press.