一種不同的看待微積分的角度

最近我除了線性代數，也同時在重新補強微積分的基礎。

微積分一開始，可以說是為了解決物理或是工程問題，而被「發明」的。先有問題，才產生了工具。一開始的先驅者在乎的，只是「能不能解出我在乎的答案」。而不是「為了算而算」，「為了證明而證明」。

比如說，怎麼解出物理公式的解，或是怎麼用數學來表達工程的理論、經濟學的模型等等。

我覺得很可惜的是，現在大學教課往往不會從一個應用的角度出發，告訴你學這些東西有什麼用，而是直接用純數學的角度出發，開始解題目、證明、考試。導致很多學生不知道學這些東西的意義。

除此之外，一開始的微積分是使用infinitesimal（無窮小的數字）的非常直覺的方式，並沒有嚴格的理論、證明基礎。後來直到有數學家，使用極限的方式去奠定微積分的基礎，微積分才有了嚴謹的理論基礎（也就是大家熟悉的epsilon delta證明）。而當時infinitesimal的方式，仍然沒有嚴格的理論基礎。我認為這也是很有趣的一點，這代表微積分在沒有嚴謹理論的情況之下，就作為一個工具給物理界、科學界帶來非常大的貢獻。

不過也因為缺乏理論基礎，原先的infinitesimal方式，就慢慢式微。取而代之的是嚴謹的epsilon-delta證明。所以大家在大學微積分學到的方式，都會是後來才出現的極限證明方式。

但可惜的是，嚴謹的極限方式，不如原始的infinitesimal方式來得直覺。而大家卻必須再沒有原先微積分為何被發明的歷史背景之下，直接開始學嚴謹，卻沒那麼直覺的epsilon-delta。就有點像小學生不先學1+1=2，就開始學怎麼用數學歸納法證明一樣。

且大家在做計算時，還是會使用的dy/dx的表達方式，其實都源自於原始的infinitesimal方式。既然這些東西這麼久還沒被丟棄，可見原先最早的直覺方式，還是有他的價值所在。

一直到近代，才有數學家用了嚴謹的方式，給了原始的infinitesimal方式一個嚴謹的基礎。只可惜現在極限的證明方式已經是主流，所以大家平常在課程中也不會學到原始的這種方式了。

我看的這本elementary calculus，是使用跟一般學校主流的教法不同的基礎的角度來解釋微積分，也是最「原始主流」的牛頓、萊布尼茲等人使用的方式，也就是infinitesimal numbers（無窮小的數字）。我個人覺得是滿好閱讀的一本書，會提供給你更直覺的方式去理解微積分。如果大家對微積分有興趣，也滿推薦可以嘗試看看的。未來我也打算做一系列的影片，來介紹微積分的一些基本觀念～

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